"Eureka!" i “Antyeureka!” w matematyce: odkryciom towarzyszy radość, ale i obawa

"Radość z tego, jak się coś odkryje, jest uzależniająca. Jeśli mam świadomość, że w tym, co zrobiłem, nie ma błędów i może kogoś zainteresować, to jest to fenomenalne! Przez chwilę jestem w chmurach i myślę: ‘chwilo, trwaj!’" - mówi PAP prof. Piotr Nowak z Instytutu Matematycznego PAN, laureat grantu ERC.

"Gdyby nie było tych emocji, to nie wiem, czy w ogóle ktokolwiek zajmowałby się matematyką" - uważa z kolei matematyczka dr Paulina Rowińska, absolwentka Imperial College London autorka popularnonaukowej książki "Mapmatics".

Zaś dr hab. Joachim Jelisiejew, prof. UW tłumaczy: "W matematyce, w przeciwieństwie do innych nauk przyrodniczych, piękne jest to, że proces badań nie wymaga środków na eksperymenty i czasem właściwy pomysł przychodzi do głowy w konkretnym momencie - jako ‘Eureka!’. Słowo ‘odkryłem!’ bardzo się tu z resztą nadaje, bo - w kontraście do nauk humanistycznych - obiekty matematyczne są odkrywane, a nie wymyślane. Obiekty, które opisuję, są więc o wiele bardziej interesujące niż cokolwiek, co mógłbym wymyślić sam".

Prof. Paweł Strzelecki, matematyk z Uniwersytetu Warszawskiego zwraca uwagę, że "Eureka!" to zwykle element bardziej skomplikowanego procesu. Najpierw więc badacz długo zastanawia się nad problemem, podejmuje wiele nieudanych prób rozwiązania go i popełnia sporo błędów. "Aż wreszcie następuje to poczucie, że coś ‘klika’, układa się w nową całość" - opowiada prof. Strzelecki.

Prof. Piotr Nowak również uważa, że momenty nagłego znalezienia rozwiązania związane są z tym, że bardzo dobrze zna się dany temat. "Na doktoracie rozwiązywałem jakiś problem i długo nie wiedziałem, jak do niego podejść. Któregoś dnia zorientowałem się, że być może wiem, jak to zrobić. Zrozumiałem, że na tyle dobrze poznałem matematyczny świat, w którym się poruszam - i wyrobiłem sobie intuicję w tym zakresie, że zacząłem widzieć rozwiązanie" - mówi.

Dr Paulina Rowińska podobnie wychodzi z założenia, że momenty olśnienia dotyczą dostrzeżenia pewnych zależności, których wcześniej się nie zauważyło: "Ślęczałam długo nad jakimś rozwiązaniem i nagle znalazłam w nim analogię do innego problemu, z którym się już kiedyś spotkałam, a w którym była podobna nierówność. I wtedy pojawiła się wielka radość".

Wiceprezes Polskiego Towarzystwa Matematycznego prof. Tomasz Downarowicz z Politechniki Wrocławskiej wspomina swój moment "Eureka!", który nastąpił w spektakularnych okolicznościach.

Badacz opowiada, jak w Chile, na zaproszenie Uniwersytetu w Santiago, wraz z kolegą pracował nad ważnym zagadnieniem z zakresu układów dynamicznych, (m.in. kodowania ich w formie zbioru ciągów skończenie wielu cyfr). "Utknęliśmy na pewnej nierówności, która była potrzebna do rozwiązania naszego problemu. Czuliśmy, że powinna ona zachodzić, ale mijały tygodnie, a nie umieliśmy jej udowodnić" - opisuje w komentarzu dla PAP.

W czasie grudniowej przerwy wakacyjnej prof. Downarowicz wybrał się na tygodniowy rejs statkiem na Antarktydę. "Była to fantastyczna przygoda, obcowanie z pingwinami, wielorybami, itp. Jedną z atrakcji zapewnionych przez organizatorów była biała noc spędzona na antarktycznym lądzie pod gołym niebem w tzw. bivi - wykopanej własnoręcznie saperką jamie śnieżnej. Usadowiłem się nieco z dala od hałaśliwej młodzieży, ale i tak nie mogłem spać, bo całą noc było całkowicie jasno. Więc leżąc bezsennie w mojej jamie, tak dla zabicia czasu, wróciłem myślami do tej opornej nierówności. I wtedy nadeszło olśnienie. Może dlatego, że po przerwie miałem świeże spojrzenie, a może dlatego, że to myślenie było takie z nudów, od niechcenia, bez napięcia" - relacjonuje naukowiec.

Prof. Downarowicz dodaje, że następnego dnia na statku wziął od organizatorów mikrofon i oznajmił, że dokonał odkrycia i opublikuje je jako "The Antarctic Theorem" (Twierdzenie Antarktyczne). Dostał od współtowarzyszy brawa, a potem rzeczywiście wspólnie z kolegą z Chile opublikował pod taką nazwą wyniki w prestiżowym piśmie "Inventiones Mathematicae: https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-008-0172-4

Prof. Strzelecki opowiada, że również jemu nietypowe okoliczności sprzyjały w dokonaniu odkrycia. Przez kilka tygodni mieszkał w starodawnym dormitorium we włoskiej Pizie i intensywnie pracował ze znajomym nad rozwiązaniem jakiegoś zagadnienia. Problem nie został jeszcze całkowicie rozwiązany, a prof. Strzelecki musiał już kończyć swój pobyt we Włoszech. Kiedy wsiadł do samolotu - okazało się, że maszyna ma spore opóźnienie. "Zaczęło mi się nudzić. Z umysłem ‘rozgrzanym’ intensywnymi rozmyślaniami matematycznymi i z pytaniami z ostatnich dni, zacząłem coś rysować w notesiku i zauważyłem, że to, co wcześniej wydawało się nam niemożliwe, jednak jest możliwe do pokonania. Potem się okazało, że to, co właśnie wymyśliłem, to materiał na dwie duże publikacje i doktorat" - wspomina z nostalgią naukowiec.

Prof. Strzelecki zastrzega jednak: "z jednej strony takiemu poczuciu odkrycia towarzyszą ciepłe emocje - na granicy wzruszenia, że coś się udało, a z drugiej strony - jest ciągle obecna obawa, że w rozumowaniu może tkwić jakiś błąd, który przekreśli sensowność jakiegoś dowodu. A w matematyce liczą się tylko kompletne dowody - nie można opublikować części twierdzenia".

Prof. Piotr Nowak dodaje, że w eksperymentalnych dziedzinach nauki - nawet, jeśli uzyska się niepożądany wynik - można opisać to, co się zrobiło i opublikować wyniki, aby przestrzec następców przed wejściem w ślepą uliczkę. W matematyce zaś nie publikuje się samego toku myślowego, który prowadził donikąd. "Jeśli w dowodzie tkwi błąd, którego nie umie się ominąć, to pomysł trafia do kosza" - mówi naukowiec. Jak szacuje, w matematyce ok. 90 proc. pomysłów jest nietrafionych.

Zatem "Eureka!" to nie jest sama radość. "Z tym poczuciem odkrycia czegoś nowego wiąże się strach: nie mogę przecież jeszcze być pewien, że zaraz nie znajdę jakiegoś błędu w dowodzie. A wtedy wszystko może się rozsypać. Kiedy więc wpadam na pomysł, który wydaje mi się dobry, to zdarza mi się odraczać jego sprawdzenie, żeby jeszcze trochę się nacieszyć tym, że coś zrobiłem" - uśmiecha się prof. Nowak.

Dr Mikołaj Frączyk, prof. Uniwersytetu Jagiellońskiego, szef centrum DIOSCURI też zwraca uwagę na ambiwalencję w emocjach, które pojawiają się w pracy matematyka. "Raz na jakiś czas, kiedy już dostatecznie zweryfikuję, że mam poprawne rozwiązanie, to towarzyszy temu ostrożna euforia. Wyobrażam sobie, że sportowcy o krok od wygranej mają podobne odczucia" - porównuje.

Prof. Frączyk jednak nie chce, by tę "ostrożną euforię" nazywać "Eureką!". Naukowiec zapewnia, że od kiedy zajmuje się matematyką zawodowo, "Eureka!" jeszcze się mu nie zdarzyła. "W nowoczesnej matematyce - przynajmniej w moim doświadczeniu - rzadko kiedy ma się ten jeden pomysł, po którym nagle nas olśniło. Eureki są rozwleczone w czasie".

"Miałem jednak sytuacje odwrotne - rozwiązanie, które wydawało mi się bardzo oryginalne, ale traciło urok po zagłębieniu się w tematykę" - komentuje.

O nagłym odkryciu własnego błędu opowiada prof. Strzelecki. Wspomina, że kiedy był w Paryżu, pracował nad dowodem jakiegoś twierdzenia i ucieszył się, bo dostrzegł rozwiązanie. "Miałem radosne przeświadczenie, że mi się coś udało" - wspomina. Przedstawił swoje wyniki kilkunastu słuchaczom seminarium i usłyszał wiele pochwał. Kiedy jednak zaczął na spokojnie spisywać całość rozumowania, nastąpiło "objawienie": zauważył, że pewna stała wcale nie jest stałą, tylko zależy od parametru, który zmienia się w innych miejscach dowodu. "A kiedy to wiedziałem, mogłem podać wiele przykładów, że to twierdzenie jest nieprawdziwe. Błąd ten był nieusuwalny i przekreślił sensowność całego rozumowania. Twierdzenie to do dziś czeka, by ktoś je udowodnił" - opowiada.

Dr hab. Leokadia Białas-Cież, prof. UJ, wiceprezes PTM, opisuje, że im dłużej bada matematyczne pojęcia, tym lepiej je rozumie. "Układam ich własności jak fragmenty puzzli, ale wciąż nie wiem, czy te fragmenty uda się połączyć w całość, i co będzie przedstawiał obraz" - porównuje. I tłumaczy, że obraz jest tym piękniejszy, im więcej zagadnień dotyka, im więcej pojęć ze sobą łączy, im ich relacje są łatwiejsze do wypowiedzenia, im ciekawsze są jego interpretacje. "I nagle przychodzi olśnienie: udaje się zapisać i udowodnić poszukiwany związek tak, jakby udało się wypowiedzieć długo poszukiwane słowo lub złożyć ze sobą ułożone wcześniej fragmenty puzzli i uzyskać klarowny, wyraźny, piękny obraz, który wiele mi tłumaczy" - porównuje. I dodaje, że to tak, jakby nagle poszczególne tryby zazębiły się i zaczęły się kręcić wprawiając w ruch cały precyzyjnie przygotowywany mechanizm. Albo jakby pojedyncze frazy muzyczne ułożyły się nagle w melodyjną całość.

"Niestety, czasami intuicja zawodzi i pomimo długotrwałych wysiłków obraz nie jest tak wyraźny, jak bym chciała, coś zgrzyta w mechanizmie, nie wszystkie frazy współgrają ze sobą. Wtedy cała praca idzie na marne i trzeba podjąć wysiłek od nowa wymieniając zestaw puzzli" - komentuje.

Prof. Rafał Latała z UW, laureat Nagrody FNP przyznaje, że "Eureki" nie doświadczył. "Ale kilka razy mi się zdarzyło zachwycić jakimś pomysłowym rozwiązaniem zadania olimpijskiego w szkole średniej czy zrozumieniem nietypowej metody zastosowanej w pracy naukowej" - mówi.

Prof. Latała opisuje jednak, że bywają twierdzenia, których pierwsze dowody są długie i skomplikowane, a potem znajduje się tzw. dowód z księgi. Badacz nawiązuje tu do matematyka Paula Erdősa, który mawiał, że istnieje Księga, w której Bóg trzyma najelegantsze dowody twierdzeń matematycznych, i nawet ci, którzy nie wierzą w Boga, powinni wierzyć w tę Księgę.

Prof. Latała uważa, że takiego "dowodu z księgi" nie udało mu się jeszcze znaleźć. "W pracy naukowej znacznie wyżej się ceni efektywność niż elegancję, a ja jestem niestety jednak rzemieślnikiem, a nie artystą" - komentuje.

Dr Rowińska pytana, czy laicy też mogą doświadczyć czegoś na miarę "Eureki!", porównuje, że takie olśnienie to poczucie satysfakcji, które np. pojawia się na matematyce w szkole przy sprowadzeniu skomplikowanego równania do zaskakująco prostej postaci.

Zaś prof. Adam Skalski z IM PAN uczucie zrozumienia, dostrzeżenia czegoś nowego, które towarzyszy badaniom matematyków, porównuje do przeżyć w trakcie trekkingu. "Często chodzę po górach i zdarza mi się sytuacja, kiedy po całym dniu wędrówki docieram na szczyt. Widzę z niego cały szlak, którym szedłem i miejsca, które mijałem po drodze tego dnia. Zaczynam wtedy drogę rozumieć inaczej, bo widzę ją z innej perspektywy. To samo w matematyce, kiedy udaje mi się dopisać ostatni epsilon. Chociaż droga była ciężka i trzeba było iść po stromym wzgórzu, to na końcu drogi czeka nagroda: piękny widok i nowa perspektywa spojrzenia na obszar, w którym się poruszałem".

Joachim Jelisiejew również używa podobnej metafory, aby pokazać pewne procesy, które obserwuje matematyk: "dla mnie szczególnie urzekające jest odkrycie nowego obiektu czy pojęcia, gdy jest jasne, że wokół niego z czasem zogniskuje się cały fragment badań; że stanowi ono klucz i interesujący punkt widzenia, czyli dobry punkt widokowy. Skonstruowanie takiego obiektu można porównać do ujrzenia miasta po dniach wędrówki w jego stronę. Im bliżej miasta, tym więcej pojawia się jego oznak (ruchu na drodze, zabudowań) i podobnie w badaniach: im bliżej właściwego pojęcia, tym bardziej znane fakty układają się w logiczną całość. I wreszcie następuje moment odkrycia, czyli ujrzenia po raz pierwszy panoramy miasta w całym dostępnym z danego punktu majestacie".

Prof. Strzelecki, próbując przybliżyć moment olśnienia, przywołuje metaforę Andrew Wilesa (udowodnił on Wielkie Twierdzenie Fermata). Ten brytyjski matematyk porównywał uprawianie matematyki do chodzenia po wielkim, ciemnym pokoju: "Na początku człowiek porusza się po omacku, potyka się o różne przedmioty. Aż w końcu natrafia na włącznik światła. Następuje iluminacja i wreszcie można wyraźnie zobaczyć, gdzie się jest”.

I poleca obejrzeć fragment programu BBC, w którym Andrew Wiles opowiada o swoim momencie "Eureka!" i emocjach, które temu towarzyszyły https://www.youtube.com/watch?v=GS7CxAtV5Ks

To, czego doświadcza matematyk, prof. Skalski porównuje do poczucia olśnienia, którego można doznać, oglądając dzieło sztuki: "Kiedy oglądam obraz w galerii - nie jest powiedziane, że od razu zobaczę w nim coś interesującego. Może jednak przyjść moment, że nagle w tym obrazie dostrzegę coś, czego wcześniej nie widziałem - np. zwrócę uwagę, że abstrakcyjne plamy ułożą się w kształt konia. I wtedy odkrywam jakąś analogię, zaczynam rozumieć, że to coś nowego. To rodzaj piękna związany z poczuciem odkrycia i zrozumienia". (PAP)

Ludwika Tomala, Nauka w Polsce

ep/